Conservação do Momento Angular

2013-05-09T11:15:22Z

Ist167944: /* Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: Velocidade angular (rpm) em função do tempo para uma colisão a 1000 rpm]]
{{#ev:youtube|X2OK3akY4GE|183|right|Video do acoplamento em câmara lenta}}

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=12,5mm, r_2=47,5mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

Usando o declive de desaceleração inicial derivada do atrito é possível extrapolar $w$ para a aquisição seguinte se o relé não tivesse ligado e usar a fórmula da variação de energia mecânica mas aplicada à energia dissipada por atrito:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{ext}^2-w_{exp}^2)}{2}$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{ext}$ é a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da próxima aquisição. Um conjunto de extrapolações de $w_{ext}$ é visível na '''Figura 5'''.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,525\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 6''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''10%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

Conservação do Momento Angular

2013-05-09T11:10:25Z

Ist167944: /* Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: Velocidade angular (rpm) em função do tempo para uma colisão a 1000 rpm]]
{{#ev:youtube|X2OK3akY4GE|183|right|Video do acoplamento em câmara lenta}}

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=12,5mm, r_2=47,5mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

Usando o declive de desaceleração inicial derivada do atrito é possível extrapolar $w$ para a aquisição seguinte se o relé não tivesse ligado e usar a fórmula da variação de energia mecânica mas aplicada à energia dissipada por atrito:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{ext}^2-w_{exp}^2)}{2}$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{ext}$ é a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da próxima aquisição. Um conjunto de extrapolações de $w_{ext}$ é visível na '''Figura 5'''.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,525\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 6''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=12\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''12%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

Conservação do Momento Angular

2013-05-09T11:05:42Z

Ist167944: /* Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: Velocidade angular (rpm) em função do tempo para uma colisão a 1000 rpm]]
{{#ev:youtube|X2OK3akY4GE|183|right|Video do acoplamento em câmara lenta}}

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=12,5mm, r_2=47,5mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

Usando o declive de desaceleração inicial derivada do atrito é possível extrapolar $w$ para a aquisição seguinte se o relé não tivesse ligado e usar a fórmula da variação de energia mecânica mas aplicada à energia dissipada por atrito:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{ext}^2-w_{exp}^2)}{2}$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{ext}$ é a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da próxima aquisição. Um conjunto de extrapolações de $w_{ext}$ é visível na '''Figura 5'''.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 6''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''7%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

File:W extrap.gif

2013-05-09T10:58:15Z

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Conservação do Momento Angular

2013-05-09T10:34:04Z

Ist167944: /* Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: Velocidade angular (rpm) em função do tempo para uma colisão a 1000 rpm]]
{{#ev:youtube|X2OK3akY4GE|183|right|Video do acoplamento em câmara lenta}}

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=12,5mm, r_2=47,5mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A energia perdida por atrito terá que ser inferida através do declive de desaceleração inicial derivado apenas do atrito. Usando esse declive é possível encontrar um $w$ extrapolado para cada aquisição seguinte e usar a fórmula da variação de energia mecânica mas aplicada à energia dissipada por atrito:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{ext}^2-w_{exp}^2)}{2}$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{ext}$ é a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da próxima aquisição. Um conjunto de extrapolações de $w_{ext}$ é visível na '''Figura 5'''.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 6''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''7%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

Conservação do Momento Angular

2013-05-09T10:33:15Z

Ist167944: /* Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: Velocidade angular (rpm) em função do tempo para uma colisão a 1000 rpm]]
{{#ev:youtube|X2OK3akY4GE|183|right|Video do acoplamento em câmara lenta}}

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=12,5mm, r_2=47,5mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:W_extrap.gif|thumb|alt=|Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A energia perdida por atrito terá que ser inferida através do declive de desaceleração inicial derivado apenas do atrito. Usando esse declive é possível encontrar um $w$ extrapolado para cada aquisição seguinte e usar a fórmula da variação de energia mecânica mas aplicada à energia dissipada por atrito:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{ext}^2-w_{exp}^2)}{2}$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{ext}$ é a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da próxima aquisição. Um conjunto de extrapolações de $w_{ext}$ é visível na '''Figura 5'''.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 5''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''7%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

2013-04-23T17:10:19Z

Ist167944: uploaded a new version of "File:Discos velocidade protocolo1.png"

File:Discos velocidade protocolo1.png

2013-04-23T17:07:22Z

Ist167944: uploaded a new version of "File:Discos velocidade protocolo1.png"

Angular Momentum Conservation

2013-04-23T17:05:02Z

Ist167944: /* Protocol - Angular Momentum Conservation */

UNDER CONSTRUCTION

=Description of the Experiment=
This control room allows the confirmation of angular momentum conservation by colliding a spinning disk with another. Moreover, the disk inertia momentum can be extrapolated from energy conservation principles.

=Experimental Apparatus=
The experimental apparatus is based in a PC hard disk drive motor and its spinning disc with a mass of 115g., 13mm internal radius and 47mm external. A second disc with a mass of 69g and the same dimensions is held on top of it and can be dropped by a servo motor actuator.

The apparatus' motor can be used as a generator equipped with a switchable resistor acting as an electromagnetic brake. The braking current&voltage characteristic is measured allowing a rigorous energy dissipation calculation.

=Protocol - Angular Momentum Conservation=

[[File:Discs_velocity_protocol1.png|thumb|alt=|Figura 1: Angular velocity (rpm) as a function of time for a collision at 1000 rpm.]]

The bottom disc is accelerated by the motor until it reaches a selected angular velocity. In this instant the motor is disconnected from supply and the disc allowed to rotate freely. When a certain pre-determined velocity is reached, the servo lets the suspended disc initially at rest fall on top of the rotating disc.

Data taken from the experiment is given and plotted with the disc velocity in function of time.

'''Figure1''' is a plot of the results of an experient in which a servo lets the suspended disc fall when the disc below reaches 1000 rpm.

Doing a linear regression between the deceleration and fall of the disc, it is possible to obtain the predicted velocity at any time. This gives us the thumb rule for the friction deceleration related to angular velocity.

=Physics=
Using the following quantities:

L - angular momentum

I - moment of inertia

ω - angular velocity

m - mass in rotation.

For the angular momentum conservation:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

The experimental results give:

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

while the predicted mass ratio is

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Evaluating the accuracy:

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

The speed ratio is different from the mass ratio by 4,9% which gives a good approximation for the angular momentum conservation.

Knowing the exact dimensions of the disks ($r_1=13mm, r_2=47mm$) and adding an error momentum on the equations one can infer an approximated value for the motor rotor momentum of inertia (or its mass knowing its average radius).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Solving in order to $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Advanced Protocol - Moment of Inertia Evaluation=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura2: rotational speed]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura3: voltage measurement]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura4: voltage between two phases]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura5: energy balance]]

A disc with a total mass of 115g is accelerated by the hard-drive motor until it reaches a pre-defined angular velocity. At that time the motor is disconnected and the disc allowed to rotate freely. When a certain speed that the user defines previously is reached, a relay puts each motor winding in parallel with a resistor which resistance is the same as the motor's windings ('''Figure 3'''). These resistors will dissipate energy acting as an electromagnetic brake. Voltage and speed in funtion of time are given in a table of results in the end of the session.

'''Figures 2''' and '''4''' are plots created in Microsoft Excel using the table of results of an experiment in which the relay turns on when the rotating discs reach 1400 rpm.

Using the first data to do a linear regression, it is possible to get the speed of the motor over time if the relay didn't turn on.

Between each speed acquisition it is done an energy balance. The loss of total mechanical energy must be equal to the sum of losses by friction and electromagnetic breaking.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{fr} + \Delta E_{ele}$

The energy of a rotating body is $E_{rot}=\frac{I w^2}{2}$ I being the moment of inertia. Then, the variation of mechanical energy between each acquisition will be:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

$w_{2exp}$ and $w_{1exp}$ being the angular velocity in two consecutive acquisitions.

The loss of energy by friction will be:

$\Delta E_{fr}=Iw_{exp}\left(w_{2wo/fr}-w_{1wo/fr}\right)$

$w_{exp}$ is the angular velocity of the disc in that acquisition and $w_{2wo/fr}$ $w_{1wo/fr}$ are the extrapolated velocity of the disc in a no friction situation at the time of the acquition and the previous one respectively.

The dissipated power is:

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

The rms voltage across one winding is:

$V_{rms}=\frac{V_{measured}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

In the setup used the energy dissipates in 3 branches so the power comes multiplied by 3. Also, each winding is in parallel with a resistor with the same resistence value $4,7\Omega$, which means the power equation will come multiplied by 2 and $R=4,7\Omega$ will be used.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{measured}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

The energy dissipated will be:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Where $\Delta t$ is the time between acquisitions.

In the end the ballance between each consecutive acquitition is summed.

$Balance = \Delta E_{mec} - \Delta E_{friction} - \Delta E_{ele}$

Finaly the goal-seek function of Microsoft Excel is used to force the sum of balances to be 0 (zero) changing the value of I.

Using this method, it was reached an experimental value of $1,274\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ for the moment of inertia.

'''Figure 5''' shows the energy of the disc in function of time, the energy lost by friction and electromagnetic breaking and the sum of all energies that allows the verification of the conservation of energy through all the experiment.

The disc is in fact a ring with interior radius 13mm and exterior 47mm so it's theoretical moment of inertia is:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Evaluating the accuracy:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

This experiment gave results that differ by '''6,8%''' from the ones calculated theoreticaly.

File:Discs velocity protocol1.png

2013-04-23T17:04:30Z

Ist167944:

Conservação do Momento Angular

2013-04-23T16:37:46Z

Ist167944: /* Protocolo - Conservação do Momento Angular */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 13mm e exterior 47mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: Velocidade angular (rpm) em função do tempo para uma colisão a 1000 rpm]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=13mm, r_2=47mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem eletromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito elétrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 5: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular selecionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente sendo a sua velocidade e a tensão entre duas fases do motor adquiridas. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia atuando como um travão electromagnético. Tensão e velocidade em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travam eletromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma reta cujo declive nos permite extrapolar a perda de velocidade angular do motor para qualquer valor. Mais tarde permitirá calcular diferencialmente a perda instantânea do momento devido à componente do atrito mecânico.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A energia perdida por atrito será

$\Delta E_{atrito}=Iw_{exp}\left(w_{2s/atr}-w_{1s/atr}\right)$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{2s/atr}$ e $w_{1s/atr}$ são a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 5''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''7%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

Conservação do Momento Angular

2013-04-23T16:36:57Z

Ist167944: /* Protocolo - Conservação do Momento Angular */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 13mm e exterior 47mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: velocidade de rotação]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=13mm, r_2=47mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem eletromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito elétrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 5: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular selecionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente sendo a sua velocidade e a tensão entre duas fases do motor adquiridas. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia atuando como um travão electromagnético. Tensão e velocidade em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travam eletromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma reta cujo declive nos permite extrapolar a perda de velocidade angular do motor para qualquer valor. Mais tarde permitirá calcular diferencialmente a perda instantânea do momento devido à componente do atrito mecânico.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A energia perdida por atrito será

$\Delta E_{atrito}=Iw_{exp}\left(w_{2s/atr}-w_{1s/atr}\right)$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{2s/atr}$ e $w_{1s/atr}$ são a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 5''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''7%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

Conservação do Momento Angular

2013-04-23T16:34:51Z

Ist167944: /* Protocolo - Conservação do Momento Angular */

=Descrição da Experiência=
Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

=Aparato Experimental=

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 13mm e exterior 47mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

=Protocolo - Conservação do Momento Angular=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura1: velocidade de rotação]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A '''Figura1''' é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o discos suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação no instante em que os discos que caem deixam de deslizar sobre os que estavam em rotação.

=Física=

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

Obtém-se experimentalmente

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

enquanto que pela razão das massas

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Fazendo um desvio à exatidão

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos ($r_1=13mm, r_2=47mm$) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Resolvendo em ordem a $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem eletromagnética.]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura 3: Esquema do circuito elétrico para medição da tensão]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura 5: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.]]

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular selecionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente sendo a sua velocidade e a tensão entre duas fases do motor adquiridas. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento ('''Figura 3'''). Estas resistências vão dissipar energia atuando como um travão electromagnético. Tensão e velocidade em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As '''Figuras 2''' e '''4''' são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travam eletromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da '''Figura 2''' gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma reta cujo declive nos permite extrapolar a perda de velocidade angular do motor para qualquer valor. Mais tarde permitirá calcular diferencialmente a perda instantânea do momento devido à componente do atrito mecânico.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{ele}$

A energia de um corpo em rotação é $E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

em que $w_{2exp}$ e $w_{1exp}$ correspondem à velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A energia perdida por atrito será

$\Delta E_{atrito}=Iw_{exp}\left(w_{2s/atr}-w_{1s/atr}\right)$

em que $w_{exp}$ é a velocidade angular experimental do disco no instante da aquisição e $w_{2s/atr}$ e $w_{1s/atr}$ são a velocidade extrapolada do disco numa situação sem atrito no instante da aquisição e no instante anterior respetivamente.

A potência dissipada corresponde a

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

Na montagem usada a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de $4,7\Omega$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $R=4,7\Omega$ e multiplicar por 2 a potência.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

A energia dissipada será:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Em que $\Delta t$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{ele}$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) alterando iteradamente o valor de I.

Usando este método, conseguiu-se inferir um valor experimental de $1,27\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ para o momento de inércia.

A '''Figura 5''' ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 13mm e exterior 47mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Fazendo um desvio à exactidão:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

Conclui-se que esta experiência produziu resultados que se desviam dos calculados teoricamente por '''7%'''. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

=Ligações=
*[[Angular Momentum Conservation | Versão em Inglês (English Version)]]

Angular Momentum Conservation

2013-04-23T16:32:13Z

Ist167944: /* Protocol - Angular Momentum Conservation */

UNDER CONSTRUCTION

=Description of the Experiment=
This control room allows the confirmation of angular momentum conservation by colliding a spinning disk with another. Moreover, the disk inertia momentum can be extrapolated from energy conservation principles.

=Experimental Apparatus=
The experimental apparatus is based in a PC hard disk drive motor and its spinning disc with a mass of 115g., 13mm internal radius and 47mm external. A second disc with a mass of 69g and the same dimensions is held on top of it and can be dropped by a servo motor actuator.

The apparatus' motor can be used as a generator equipped with a switchable resistor acting as an electromagnetic brake. The braking current&voltage characteristic is measured allowing a rigorous energy dissipation calculation.

=Protocol - Angular Momentum Conservation=

[[File:Discos_velocidade_protocolo1.png|thumb|alt=|Figura 1: Angular velocity (rpm) as a function of time for a collision at 1000 rpm.]]

The bottom disc is accelerated by the motor until it reaches a selected angular velocity. In this instant the motor is disconnected from supply and the disc allowed to rotate freely. When a certain pre-determined velocity is reached, the servo lets the suspended disc initially at rest fall on top of the rotating disc.

Data taken from the experiment is given and plotted with the disc velocity in function of time.

'''Figure1''' is a plot of the results of an experient in which a servo lets the suspended disc fall when the disc below reaches 1000 rpm.

Doing a linear regression between the deceleration and fall of the disc, it is possible to obtain the predicted velocity at any time. This gives us the thumb rule for the friction deceleration related to angular velocity.

=Physics=
Using the following quantities:

L - angular momentum

I - moment of inertia

ω - angular velocity

m - mass in rotation.

For the angular momentum conservation:

$L_i=L_f$

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$

The experimental results give:

$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$

while the predicted mass ratio is

$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$

Evaluating the accuracy:

$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$

The speed ratio is different from the mass ratio by 4,9% which gives a good approximation for the angular momentum conservation.

Knowing the exact dimensions of the disks ($r_1=13mm, r_2=47mm$) and adding an error momentum on the equations one can infer an approximated value for the motor rotor momentum of inertia (or its mass knowing its average radius).

$I_i \omega_i=I_f \omega_f$

$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$

Solving in order to $I_m$

$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$

=Advanced Protocol - Moment of Inertia Evaluation=

[[File:Discos_velocidade_protocolo2.png|thumb|alt=|Figura2: rotational speed]]
[[File:Discos_tensao_2fases.png|thumb|alt=|Figura3: voltage measurement]]
[[File:Discos_tensao.png|thumb|alt=|Figura4: voltage between two phases]]
[[File:Discos_balanco_energetico.png|thumb|alt=|Figura5: energy balance]]

A disc with a total mass of 115g is accelerated by the hard-drive motor until it reaches a pre-defined angular velocity. At that time the motor is disconnected and the disc allowed to rotate freely. When a certain speed that the user defines previously is reached, a relay puts each motor winding in parallel with a resistor which resistance is the same as the motor's windings ('''Figure 3'''). These resistors will dissipate energy acting as an electromagnetic brake. Voltage and speed in funtion of time are given in a table of results in the end of the session.

'''Figures 2''' and '''4''' are plots created in Microsoft Excel using the table of results of an experiment in which the relay turns on when the rotating discs reach 1400 rpm.

Using the first data to do a linear regression, it is possible to get the speed of the motor over time if the relay didn't turn on.

Between each speed acquisition it is done an energy balance. The loss of total mechanical energy must be equal to the sum of losses by friction and electromagnetic breaking.

$\Delta E_{mec} = \Delta E_{fr} + \Delta E_{ele}$

The energy of a rotating body is $E_{rot}=\frac{I w^2}{2}$ I being the moment of inertia. Then, the variation of mechanical energy between each acquisition will be:

$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{2exp}^2-w_{1exp}^2)}{2}$

$w_{2exp}$ and $w_{1exp}$ being the angular velocity in two consecutive acquisitions.

The loss of energy by friction will be:

$\Delta E_{fr}=Iw_{exp}\left(w_{2wo/fr}-w_{1wo/fr}\right)$

$w_{exp}$ is the angular velocity of the disc in that acquisition and $w_{2wo/fr}$ $w_{1wo/fr}$ are the extrapolated velocity of the disc in a no friction situation at the time of the acquition and the previous one respectively.

The dissipated power is:

$P=VI=\frac{V^2}{R}$

The rms voltage across one winding is:

$V_{rms}=\frac{V_{measured}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$

In the setup used the energy dissipates in 3 branches so the power comes multiplied by 3. Also, each winding is in parallel with a resistor with the same resistence value $4,7\Omega$, which means the power equation will come multiplied by 2 and $R=4,7\Omega$ will be used.

$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{measured}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$

$P=\frac{V^2}{R}$

The energy dissipated will be:

$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$

Where $\Delta t$ is the time between acquisitions.

In the end the ballance between each consecutive acquitition is summed.

$Balance = \Delta E_{mec} - \Delta E_{friction} - \Delta E_{ele}$

Finaly the goal-seek function of Microsoft Excel is used to force the sum of balances to be 0 (zero) changing the value of I.

Using this method, it was reached an experimental value of $1,274\times10^{-4}$ $kg$ $m^2$ for the moment of inertia.

'''Figure 5''' shows the energy of the disc in function of time, the energy lost by friction and electromagnetic breaking and the sum of all energies that allows the verification of the conservation of energy through all the experiment.

The disc is in fact a ring with interior radius 13mm and exterior 47mm so it's theoretical moment of inertia is:

$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,013^2+0,047^2\right)}{2}=1,367\times 10^{-4}kg \; m^2$

Evaluating the accuracy:

$\frac{\left|1,274\times 10^{-4}-1,367\times 10^{-4}\right|}{\left|1,367\times 10^{-4}\right|}\times 100=6,8\%$

This experiment gave results that differ by '''6,8%''' from the ones calculated theoreticaly.