Conservação do Momento Angular

Descrição da Experiência

Esta sala de controlo permite confirmar a conservação do momento angular colidindo um disco a rodar com outro inicialmente em repouso. É também possível inferir o momento de inércia através de princípios de conservação de energia.

Ligações

• Video: rtsp://elabmc.ist.utl.pt/inertiadisks.sdp
• Laboratório: Intermédio em e-lab.ist.eu
• Sala de controlo: [indisponível]
• Nivel: ***

Aparato Experimental

O aparato experimental consiste num motor de disco rígido de computador equipado com um disco de 115 gr. com raio interior 12,5mm e exterior 47,5mm. Um segundo disco com 69 gr. e as mesmas dimensões do primeiro é suspenso acima dele e pode ser largado por um servo-motor.

O motor do aparato pode ser usado como um gerador equipado com uma resistência comutável que serve de travão electromagnético e é comandada por um microcontrolador. A característica de corrente/voltagem de travagem é medida permitindo um cálculo rigoroso da dissipação de energia.

Protocolo - Conservação do Momento Angular

O disco de baixo é acelerado pelo motor até atingir uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada, o disco fica a rodar livremente e a sua velocidade de rotação vai sendo medida. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, o servo deixa cair o disco suspenso inicialmente em repouso sobre o disco em rotação.

Os resultados da experiência são fornecidos e traçados graficamente com a velocidade dos discos em função do tempo.

A Figura1 é um gráfico criado no Microsoft Excel a partir da tabela de resultados de uma experiência em que o servo deixa o disco suspenso cair quando o disco inferior atinge 1000 rpm.

Fazendo uma regressão linear entre o início da desaceleração e a queda dos discos, é possível extrapolar a velocidade prevista dos discos em rotação em qualquer instante.

Protocolo Avançado - Medição do Momento de Inércia

Figura 2: Velocidade de rotação em função do tempo após o inicio da travagem electromagnética.

Figura 3: Esquema do circuito eléctrico para medição da tensão.

Figura 4: Tensão entre duas fases durante a travagem.

Figura 5: Extrapolação de w a partir do declive de desaceleração inicial.

Figura 6: Balanço energético final onde se consegue distinguir a componente elétrica da mecânica e, dessa forma, extrapolar o momento de inercial total.

O disco de baixo é acelerado pelo motor do disco rígido até uma velocidade angular seleccionada. Neste instante a alimentação do motor é desligada e o disco fica a rodar livremente. Quando for atingida uma velocidade escolhida previamente, um relé coloca cada enrolamento do motor em paralelo com uma resistência com uma impedância igual à impedância do enrolamento (Figura 3). Estas resistências vão dissipar energia actuando como um travão electromagnético. Tensão aos terminais de uma das resistências e velocidade do disco em função do tempo são fornecidas numa tabela no final da sessão.

As Figuras 2 e 4 são gráficos obtidos partir da tabela de resultados de uma experiência em que o relé liga o travão electromagnético quando os discos atingem 1400 rpm.

Fazendo um ajuste aos primeiros dados da Figura 2 gerados antes de o relé ligar, obtém-se uma recta cujo declive nos fornece a desaceleração angular do disco devido ao atrito, assumida como constante. Pela desaceleração pode-se calcular diferencialmente a perda instantânea do momento angular.

Usando os dados da velocidade dos discos faz-se um balanço da energia dos discos entre cada aquisição. A perda de energia mecânica dos discos terá que ser igual à soma das perdas por atrito mecânico e por dissipação de energia nas resistências.

$$\Delta E_{mec} = \Delta E_{atrito} + \Delta E_{elec}$$

A energia de um corpo em rotação é

$$E_{rot}=\frac{Iw^2}{2}$$ em que I é o momento de inércia, logo, a variação de energia mecânica entre cada aquisição será:

$$\Delta E_{mec}=\frac{I(w_{n+1}^2-w_{n}^2)}{2}$$

em que

$$w_{n+1} e w_{n}$$ correspondem à velocidade angular experimental do disco em aquisições consecutivas.

Usando o declive

$$a$$ da reta ajustada à desaceleração inicial derivada do atrito mecânico é possível extrapolar $$w_{n+1}$$ para a aquisição seguinte se o relé não estivesse ligado.

$$w_{n+1}= w_{n} + a \Delta t$$

Substituindo este

$$w_{n+1}$$ extrapolado na equação de variação total de energia é possível calcular a dissipação de energia devido ao atrito mecânico:

$$\Delta E_{atrito}=\frac{I(w_{n}^2+2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2-w_{n}^2)}{2}$$

$$\Delta E_{atrito}=\frac{I(2w_{n}a\Delta t + a^2\Delta t^2)}{2}$$

Um conjunto de extrapolações de

$$w_{n+1}$$ é visível na Figura 5.

A potência dissipada no "atrito eletromagnético" corresponde a

$$P=VI=\frac{V^2}{R}$$

A tensão rms aos terminais de um enrolamento corresponde a

$$V_{rms}=\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}$$

Na montagem usada, a energia dissipa-se em 3 ramos o que leva a multiplicar por 3. Tanto o enrolamento como a resistência têm uma impedância de

$$4,7\Omega$$ e por estarem em paralelo a impedância será metade, o que equivale a deixar $$R=4,7\Omega$$ e multiplicar por 2 a potência.

$$P=3\times2\times\frac{V_{rms}^2}{R}=3\times2\times\left(\frac{V_{medida}}{\sqrt{3}\sqrt{2}}\right)^2\frac{1}{R}$$

$$P=\frac{V^2}{R}$$

A energia dissipada será:

$$\Delta E_{ele}=P*\Delta t$$

Em que

$$\Delta t$$ é o tempo entre aquisições.

O balanço da energia é feito para cada par de aquisições consecutivas e no final somado:

$$Balanço = \Delta E_{mec} - \Delta E_{atrito} - \Delta E_{elec}$$

Finalmente usa-se a função "goal-seek" do Microsoft Excel para colocar o somatório dos balanços a 0 (zero) iterando o valor do momento de inércia (I).

Usando este método, consegue-se inferir um valor experimental de

$$1,52\times10^{-4} kg m^2$$ para o momento de inércia.

A Figura 6 ilustra a energia dos discos ao longo do tempo, a energia perdida por atrito e pela travagem eletromagnética e a soma de todas as energias permitindo verificar a conservação de energia ao longo de toda a experiência.

Ora, os discos desta experiência são na verdade coroas circulares de raios interior 12,5mm e exterior 47,5mm. O seu momento de inércia teórico corresponde então a:

$$I=\frac{m\left(r_1^2+r_2^2\right)}{2}=\frac{0,115\left(0,0125^2+0,0475^2\right)}{2}=1,387\times 10^{-4}kg \; m^2$$

Calculando o erro em relação ao valor esperado, obtem-se

$$\frac{\left|1,525\times 10^{-4}-1,387\times 10^{-4}\right|}{\left|1,387\times 10^{-4}\right|}\times 100=10\%$$

Conclui-se assim que os resultados se desviam dos calculados teoricamente por ~10%. Uma melhoria poderia ainda ser obtida incluindo um termo adicional para o momento de inércia do rotor. Caso seja efetuada a experiência com ambos os discos, poder-se-á efetuar um ajuste considerando o momento de inercia do rotor como parâmetro livre e eliminar este erro sistemático.

Física

Usando as seguintes quantidades:

L - momento angular

I - momento de inércia

ω - velocidade angular

m - massa em rotação.

Tem-se para a conservação do momento angular:

$$L_i=L_f$$

$$I_i \omega_i=I_f \omega_f$$

$$\frac{I_i}{I_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$$

$$\frac{\frac{m_i\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}{\frac{m_f\left (r_1^2+r_2^2 \right )}{2}}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$$

$$\frac{m_i}{m_f}=\frac{\omega_f}{\omega_i}$$

Obtém-se experimentalmente

$$\frac{\omega_f}{\omega_i}=\frac{623}{950}=0,656$$

enquanto que pela razão das massas

$$\frac{m_i}{m_f}=\frac{115}{115+69}=0,625$$

Fazendo um desvio à exatidão

$$\frac{\left|0,656-0,625\right|}{\left|0,625\right|}\times 100=4,9\%$$

Conclui-se que a razão das velocidades (experimental) difere 4,9% da razão das massas (teórica), que está de acordo com a conservação do momento angular.

Sabendo as dimensões exatas dos discos (

$$r_1=12,5mm, r_2=47,5mm$$ ) e acrescentando o momento de inércia do rotor do motor às equações, este acumula o desvio ao esperado e é possível calcular o seu valor aproximado (ou a sua massa, sabendo o seu raio).

$$I_i \omega_i=I_f \omega_f$$

$$\left (I_m + I_{Di}\right ) \omega_i=\left (I_m + I_{Df}\right ) \omega_f$$

Resolvendo em ordem a

$$I_m$$

$$I_m = \frac{I_{Df} \omega_f - I_{Di} \omega_i}{\omega_i-\omega_f}$$

Ligações

• Versão em Inglês (English Version)